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<!DOCTYPE html>

<title>Shiftoperator</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Shiftoperator</h1>

</header>

</div>

Shiftoperatoren (Shift-Operatoren, Verschiebeoperatoren, Verschiebungsoperatoren) werden im <a href="Teilgebiete_der_Mathematik" title="Teilgebiete der Mathematik">mathematischen Teilgebiet</a> der <a href="Funktionalanalysis" title="Funktionalanalysis">Funktionalanalysis</a> betrachtet. Beim unilateralen Shiftoperator (s. u.) handelt es sich um einen konkreten nicht<a href="Normaler_Operator" title="Normaler Operator">normalen</a> <a href="Linearer_Operator" title="Linearer Operator">Operator</a> auf einem <a href="Hilbertraum" title="Hilbertraum">Hilbertraum</a>. Dieser Operator hat viele Eigenschaften, zu denen es keine endlichdimensionale Entsprechung gibt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Ein unendlichdimensionaler <a href="Separabler_Raum" title="Separabler Raum">separabler</a> Hilbertraum ist nach dem <a href="Satz_von_Fischer-Riesz" title="Satz von Fischer-Riesz">Satz von Fischer-Riesz</a> <a href="Isometrie" title="Isometrie">isometrisch</a> <a href="Isomorphismus" title="Isomorphismus">isomorph</a> zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \ell ^{2}(I):=\{(a_{i})_{i\in I}\in {\mathbb {C} }^{I};\,\sum _{i\in I}|a_{i}|^{2}<\infty \}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \ell ^{2}(I):=\{(a_{i})_{i\in I}\in {\mathbb {C} }^{I};\,\sum _{i\in I}|a_{i}|^{2}<\infty \}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f09640042e9fb0d453507bce2e8cb6372747221.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:40.004ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \ell ^{2}(I):=\{(a_{i})_{i\in I}\in {\mathbb {C} }^{I};\,\sum _{i\in I}|a_{i}|^{2}<\infty \}}" loading="lazy">, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"> eine <a href="Abz%C3%A4hlbar_unendlich" class="mw-redirect" title="Abzählbar unendlich">abzählbar unendliche</a> Menge ist, zum Beispiel <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I={\mathbb {Z} }}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I={\mathbb {Z} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b96691154d79f14a6c4f3ac60397f0274e8cb48e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.821ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I={\mathbb {Z} }}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I={\mathbb {N} }}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I={\mathbb {N} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad2ec01b59f07616ac64cfbdf98e1fe102cad69d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.948ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I={\mathbb {N} }}" loading="lazy">. Der Operator

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W:\ell ^{2}({\mathbb {Z} })\rightarrow \ell ^{2}({\mathbb {Z} }),\,\,(a_{n})_{n\in {\mathbb {Z} }}\mapsto (a_{n-1})_{n\in {\mathbb {Z} }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/089037beb57d98136fb08d4ef42b42e01bfa3696.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.613ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle W:\ell ^{2}({\mathbb {Z} })\rightarrow \ell ^{2}({\mathbb {Z} }),\,\,(a_{n})_{n\in {\mathbb {Z} }}\mapsto (a_{n-1})_{n\in {\mathbb {Z} }}}" loading="lazy"></dd></dl>

heißt bilateraler Shiftoperator.

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S:\ell ^{2}({\mathbb {N} })\rightarrow \ell ^{2}({\mathbb {N} }),\,\,(a_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fde94e3d23cd5751cc42b3c7296c29c967c4c64c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.619ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle S:\ell ^{2}({\mathbb {N} })\rightarrow \ell ^{2}({\mathbb {N} }),\,\,(a_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )}" loading="lazy"></dd></dl>

heißt unilateraler Shiftoperator. Die Bezeichnung Shiftoperator rührt daher, dass diese Operatoren die Folgenglieder um eine Indexposition verschieben. Beim bilateralen Shiftoperator sind Indizes auf beiden Seiten der Null betroffen, positive wie negative, beim unilateralen Shiftoperator nur die Indizes einer Seite, nämlich nur die positiven. In der mathematischen Literatur steht Shiftoperator, ohne weiteren Zusatz, in der Regel für den unilateralen Shiftoperator. Oft lässt man auch den Wortbestandteil Operator fort und spricht einfach vom Shift.

Fasst man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{2}({\mathbb {N} })}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{2}({\mathbb {N} })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f7bfce790c38872419b589d3e4f2a2323e4708e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.511ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{2}({\mathbb {N} })}" loading="lazy"> als Unterraum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{2}({\mathbb {Z} })}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{2}({\mathbb {Z} })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea8936ccbfa64d6aaff8ff06ae847486ffdc3d79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.384ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{2}({\mathbb {Z} })}" loading="lazy"> auf, indem man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d94eb39ce2b1b425cd97d546d636a301653fc393.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.487ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\ldots ,0,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\ldots ,0,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2597cfa0468672fd951b4ccd2536ed3555e80017.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.827ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\ldots ,0,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}" loading="lazy"> identifiziert, so sieht man, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S=W|_{\ell ^{2}({\mathbb {N} })}}">

<msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S=W|_{\ell ^{2}({\mathbb {N} })}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/255185a1121a64703f2aaa98932e7f59b4585624.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:11.895ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle S=W|_{\ell ^{2}({\mathbb {N} })}}" loading="lazy"> ist, das heißt, der unilaterale Shiftoperator ist eine Einschränkung des bilateralen Shiftoperators.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Der_bilaterale_Shift">Der bilaterale Shift</h2></div>

Der bilaterale Shift <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54a9c4c547f4d6111f81946cad242b18298d70b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.435ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle W}" loading="lazy"> ist ein <a href="Unit%C3%A4rer_Operator" title="Unitärer Operator">unitärer Operator</a>, die <a href="Umkehrfunktion" title="Umkehrfunktion">Umkehrung</a> ist der <a href="Adjungierter_Operator" title="Adjungierter Operator">adjungierte Operator</a>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W^{*}:\ell ^{2}({\mathbb {Z} })\rightarrow \ell ^{2}({\mathbb {Z} }),\,\,(a_{n})_{n\in {\mathbb {Z} }}\mapsto (a_{n+1})_{n\in {\mathbb {Z} }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4198a54372bed09cb7a94b99147ee66f93e09773.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.74ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle W^{*}:\ell ^{2}({\mathbb {Z} })\rightarrow \ell ^{2}({\mathbb {Z} }),\,\,(a_{n})_{n\in {\mathbb {Z} }}\mapsto (a_{n+1})_{n\in {\mathbb {Z} }}}" loading="lazy">.

Das <a href="Spektrum_(Operatortheorie)" title="Spektrum (Operatortheorie)">Spektrum</a> des bilateralen Shifts ist die gesamte Kreislinie, das heißt

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (W)=\{\lambda \in {\mathbb {C} };\,|\lambda |=1\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e3f599e79f8679767f5dc7e93eb4c4a41edb097.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.202ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (W)=\{\lambda \in {\mathbb {C} };\,|\lambda |=1\}}" loading="lazy">. Kein Element des Spektrums ist ein <a href="Eigenwert" class="mw-redirect" title="Eigenwert">Eigenwert</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Der_unilaterale_Shift">Der unilaterale Shift</h2></div>

Der unilaterale Shift <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> ist eine <a href="Isometrie" title="Isometrie">Isometrie</a>, die nicht <a href="Surjektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Surjektivität">surjektiv</a> ist, denn das Bild ist die Menge aller Folgen aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ell ^{2}({\mathbb {N} })}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ell ^{2}({\mathbb {N} })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f7bfce790c38872419b589d3e4f2a2323e4708e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.511ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \ell ^{2}({\mathbb {N} })}" loading="lazy">, deren erste Komponente 0 ist. Damit ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> ein <a href="Injektivit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Injektivität">injektiver</a> linearer Operator, der nicht surjektiv ist; dies ist ein Phänomen, das in der Theorie der endlichdimensionalen Räume, das heißt in der <a href="Lineare_Algebra" title="Lineare Algebra">linearen Algebra</a>, nicht vorkommt.

Der <a href="Adjungierter_Operator" title="Adjungierter Operator">adjungierte Operator</a> ist

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{*}\colon \ell ^{2}({\mathbb {N} })\rightarrow \ell ^{2}({\mathbb {N} }),\,\,(a_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}\mapsto (a_{2},a_{3},\ldots )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f37036fd9256842e6c875fe8b7f6937de7c29c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.596ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle S^{*}\colon \ell ^{2}({\mathbb {N} })\rightarrow \ell ^{2}({\mathbb {N} }),\,\,(a_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}\mapsto (a_{2},a_{3},\ldots )}" loading="lazy">.

Damit folgt sofort <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{*}S=id}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{*}S=id}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/752ef155f2754252a847abfc923f4f84a5120152.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.192ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle S^{*}S=id}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle SS^{*}=P_{im(S)}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle SS^{*}=P_{im(S)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f3ede1f9387d02e8276edbce315b61914f3e1e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:13.248ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle SS^{*}=P_{im(S)}}" loading="lazy">, wobei letzteres für die <a href="Orthogonalprojektion" title="Orthogonalprojektion">Orthogonalprojektion</a> auf das Bild von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> steht. Insbesondere ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> nicht <a href="Normaler_Operator" title="Normaler Operator">normal</a>. Man kann sogar zeigen, dass der Shiftoperator von jedem unitären Operator genau den maximal möglichen Normabstand 2 hat.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Das_Spektrum_des_Shiftoperators">Das Spektrum des Shiftoperators</h3></div>

Das Spektrum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> ist die volle Kreisscheibe: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma (S)=\{\lambda \in {\mathbb {C} };\,|\lambda |\leq 1\}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma (S)=\{\lambda \in {\mathbb {C} };\,|\lambda |\leq 1\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b127a583db007fdcd611a2c5974f31d6769953da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.266ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sigma (S)=\{\lambda \in {\mathbb {C} };\,|\lambda |\leq 1\}}" loading="lazy">. Keiner der Spektralpunkte ist ein <a href="Eigenwert" class="mw-redirect" title="Eigenwert">Eigenwert</a>. Die Spektralpunkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\lambda |=1}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\lambda |=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3f99c7b1dc3696f6e900ea51d946e4da3915f7e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.91ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\lambda |=1}" loading="lazy"> sind aber sogenannte approximative Eigenwerte, das heißt, es gibt eine Folge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (x_{n})_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (x_{n})_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db535bd8b18bb7f5105d670ad27e611d1fa00694.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.576ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (x_{n})_{n}}" loading="lazy"> von Vektoren mit <a href="Skalarproduktnorm" title="Skalarproduktnorm">Norm</a> 1, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|Sx_{n}-\lambda x_{n}\|\to 0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|Sx_{n}-\lambda x_{n}\|\to 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68c56106e0cb85846dea781ccb717237e06c8d13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.893ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|Sx_{n}-\lambda x_{n}\|\to 0}" loading="lazy">. Für die inneren Spektralpunkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\lambda |<1}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\lambda |<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e63f0da73af66e38ef253b0a16d7001fe1c314b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.91ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\lambda |<1}" loading="lazy"> gilt das nicht.

Das Spektrum des adjungierten Operators <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b059338b0f6bc81c4edf97c51ce987e98f4bf23e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.576ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle S^{*}}" loading="lazy"> ist ebenfalls die volle Kreisscheibe und der Kreisrand besteht ebenfalls aus lauter approximativen Eigenwerten, die keine echten Eigenwerte sind. Die inneren Spektralpunkte <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |\lambda |<1}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\lambda |<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e63f0da73af66e38ef253b0a16d7001fe1c314b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.91ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |\lambda |<1}" loading="lazy"> sind sämtlich Eigenwerte von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{*}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{*}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b059338b0f6bc81c4edf97c51ce987e98f4bf23e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.576ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle S^{*}}" loading="lazy">. Die zugehörigen <a href="Eigenraum" title="Eigenraum">Eigenräume</a> sind alle eindimensional, der Eigenraum zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"> wird von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (1,\lambda ,\lambda ^{2},\lambda ^{3},\ldots )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (1,\lambda ,\lambda ^{2},\lambda ^{3},\ldots )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/528e2e2152a242323407fa33685771b8c87179e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.005ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (1,\lambda ,\lambda ^{2},\lambda ^{3},\ldots )}" loading="lazy"> erzeugt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Der_Shiftoperator_als_Fredholm-Operator">Der Shiftoperator als Fredholm-Operator</h3></div>

Der Shiftoperator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> ist ein <a href="Fredholm-Operator" title="Fredholm-Operator">Fredholm-Operator</a> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {ind} (S)=\mathrm {dim} (\mathrm {ker} (S))-\mathrm {codim} (\mathrm {im} (S))=-1}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {ind} (S)=\mathrm {dim} (\mathrm {ker} (S))-\mathrm {codim} (\mathrm {im} (S))=-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/404b455a4c4b110fe2c29cde734976ecb541b494.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.484ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {ind} (S)=\mathrm {dim} (\mathrm {ker} (S))-\mathrm {codim} (\mathrm {im} (S))=-1}" loading="lazy">. Daher ist das Bild <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi (S)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi (S)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5cd8fa48b61bef4820ee06371d1e3fba0c8f181.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.641ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \pi (S)}" loading="lazy"> in der <a href="Calkin-Algebra" title="Calkin-Algebra">Calkin-Algebra</a> unitär, was man aber auch ohne den Begriff des Fredholm-Operators den Formeln <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S^{*}S=id}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S^{*}S=id}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/752ef155f2754252a847abfc923f4f84a5120152.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.192ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle S^{*}S=id}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle SS^{*}=P_{im(S)}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle SS^{*}=P_{im(S)}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f3ede1f9387d02e8276edbce315b61914f3e1e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:13.248ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle SS^{*}=P_{im(S)}}" loading="lazy"> entnimmt. Das Spektrum von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi (S)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi (S)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5cd8fa48b61bef4820ee06371d1e3fba0c8f181.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.641ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \pi (S)}" loading="lazy"> ist die Kreislinie.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Wold-Zerlegung">Wold-Zerlegung</h3></div>

Ein stetiger linearer Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> auf einem Hilbertraum H ist unitär äquivalent zum Shiftoperator, wenn es einen unitären Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U:H\rightarrow \ell ^{2}({\mathbb {N} })}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U:H\rightarrow \ell ^{2}({\mathbb {N} })}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb545951d1db12e16f94e578926fafbcc70b20e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.909ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle U:H\rightarrow \ell ^{2}({\mathbb {N} })}" loading="lazy"> gibt mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=U^{*}SU}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=U^{*}SU}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ea76c8c8f1f32766f4e0cfaf7af783d1eb730bce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.912ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle T=U^{*}SU}" loading="lazy">. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> irgendein Operator auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy">, so heißt ein Unterraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\subset H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\subset H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0798896e7bc9b2ea49ebe44f74c2f9a2f555caaa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.949ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V\subset H}" loading="lazy"> invariant (bezüglich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy">), falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T(V)\subset V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T(V)\subset V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3d414dbb33e378239db9661c8ba5311f8d5d2da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.118ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T(V)\subset V}" loading="lazy">.

Mit diesen Begriffen kann man nun alle Isometrien auf einem Hilbertraum beschreiben. Eine Isometrie ist im Wesentlichen eine direkte Summe aus einem unitären Operator und einigen Shiftoperatoren, genauer:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> eine Isometrie auf einem Hilbertraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy">, so zerfällt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> in eine direkte Summe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle G\oplus \bigoplus _{i\in I}H_{i}}">

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle G\oplus \bigoplus _{i\in I}H_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d3a50972f914f10cd3d6035b0c6e7e68453d21d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.091ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \textstyle G\oplus \bigoplus _{i\in I}H_{i}}" loading="lazy"> invarianter Unterräume, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T|_{G}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T|_{G}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf13c827ea9f3a4617e1da7d6f70c984284eaabb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.807ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle T|_{G}}" loading="lazy"> unitär ist und jeder Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T|_{H_{i}}}">

<msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T|_{H_{i}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42eff8ffbd0ec885962365ec16ae2e4c15dfa7d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:4.506ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle T|_{H_{i}}}" loading="lazy"> unitär äquivalent zum Shiftoperator ist.</li></ul>

Dabei kann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G=\{0\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=\{0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e7ece77f7e58274e6723cf28171eafdf03b32d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.413ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle G=\{0\}}" loading="lazy"> sein, das heißt, der unitäre Anteil der Isometrie verschwindet, aber auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G=H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0276afc5dc830d7df14f4678bf4b64bd970ca384.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.989ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G=H}" loading="lazy"> und somit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I=\emptyset }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I=\emptyset }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2528ed4dc1d5e6df3286d15f95e45298a3e77fe2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.433ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle I=\emptyset }" loading="lazy">, dann ist die Isometrie unitär. Diese Darstellung einer Isometrie nennt man auch ihre Wold-Zerlegung oder Wold-von Neumann-Zerlegung (nach <a href="Herman_Wold" title="Herman Wold">Herman Wold</a> und <a href="John_von_Neumann" title="John von Neumann">John von Neumann</a>).

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Der_Shiftoperator_auf_H2">Der Shiftoperator auf H2</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma =\{\lambda \in {\mathbb {C} };\,|\lambda |=1\}}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma =\{\lambda \in {\mathbb {C} };\,|\lambda |=1\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/582b47864f04545ceb1555a95958697cbc5d4fad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.081ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Gamma =\{\lambda \in {\mathbb {C} };\,|\lambda |=1\}}" loading="lazy"> die Kreislinie und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> das auf 1 normierte <a href="Lebesgue-Ma%C3%9F" title="Lebesgue-Maß">Lebesgue-Maß</a> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.453ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Gamma }" loading="lazy">, das heißt das <a href="Bildma%C3%9F" title="Bildmaß">Bildmaß</a> des Lebesgue-Maßes auf dem Einheitsintervall [0,1] unter der Abbildung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t\to e^{2\pi it}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t\to e^{2\pi it}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a05083f0eda36c3620c5e533f1d130f0783ff5fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.694ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle t\to e^{2\pi it}}" loading="lazy">. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b83c19c3fd9d50029b321e1d964aeba09f984e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.158ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle H^{2}}" loading="lazy">, der sogenannte <a href="Hardy-Raum" title="Hardy-Raum">Hardy-Raum</a>, ist definiert als der von den Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\mapsto z^{n},n=0,1,2,\ldots }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\mapsto z^{n},n=0,1,2,\ldots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd7fcab7990a7c1d17ea82d688739fb1b17121c8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:21.851ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle z\mapsto z^{n},n=0,1,2,\ldots }" loading="lazy"> erzeugte Unterraum im Hilbertraum <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L^{2}(\Gamma ,\mu )}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L^{2}(\Gamma ,\mu )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d90121826410c2ac2b5660b56a5d1a3c754c7a18.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.335ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L^{2}(\Gamma ,\mu )}" loading="lazy">.

Man kann zeigen, dass die Multiplikation mit der Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle id_{\Gamma }:z\mapsto z}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle id_{\Gamma }:z\mapsto z}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9b186cd2c9b8ebbb8b1a1d7bb534d5368b35b12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.998ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle id_{\Gamma }:z\mapsto z}" loading="lazy"> einen stetigen, linearen Operator auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b83c19c3fd9d50029b321e1d964aeba09f984e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.158ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle H^{2}}" loading="lazy"> definiert. Da die Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z\mapsto z^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z\mapsto z^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1c8ffbffc90c62e0e3d22b88a6c7cfcf42155e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.011ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle z\mapsto z^{n}}" loading="lazy"> eine <a href="Orthogonalbasis" class="mw-redirect" title="Orthogonalbasis">Orthogonalbasis</a> des Hardy-Raums bilden, ist dieser Operator unitär äquivalent zum Shiftoperator, und man bezeichnet ihn auch einfach als Shiftoperator. In dieser speziellen Darstellung des Shiftoperators erscheint der Shiftoperator als ein Multiplikationsoperator.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Quellen">Quellen</h2></div>

<ul><li><a href="Paul_Halmos" title="Paul Halmos">Paul Halmos</a>: A Hilbert Space Problem Book, Springer-Verlag, ISBN 0387906851</li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>